Laboratoire de Modélisation Mathématique et Numérique
dans les Sciences de l'Ingénieur

Proposition de Stage Mastère 2
Titre: Méthode des éléments finis adaptatives pour un problème inverse d’identification de paramètres.
Encadreur: Nizar Kharrat

  • 20 Janvier 2018
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Nous développons des estimateurs de l’erreur a posteriori pour un problème d’identification de paramètres. L’équation d’état est décrite par une EDP elliptique du second ordre faisant intervenir un nombre fini de paramètres inconnus. Pour identifier ces paramètres, on va résoudre un problème de minimisation d’une fonctionnelle objective tenant compte de l’écart entre les mesures de la variable d’état et la solution correspondante du modèle considéré en des points fixés dans le domaine d’étude. Le nombre de points de mesures est généralement petit par rapport au nombre de noeuds utilisés dans la discrétisation. Ces mesures sont parfois insuffisantes pour estimer les paramètres, en particulier si les mesures sont entachées d’erreur. En se basant sur le formalisme Lagrangien associ´e au probl`eme d’identification des paramètres, on peut établir des estimateurs qui tiennent compte de l’erreur due à la discrétisation. Ces estimateurs sont relativement peu coûteux par rapport au coût global de l’algorithme d’optimisation. Le travail demandé consiste à adopter l’analyse introduite dans [2] pour le cas d’une EDP elliptique avec coefficients discontinus ou anisotropes [4] et sa discrétisation par éléments finis continus de Galerkin. Dans le cas particulier de coefficients discontinus isotropes, on va faire une comparaison avec l’étude en [3] en supposant les valeurs associées `a la paramétrisation du domaine sont les seules valeurs inconnues. Les estimateurs de l’erreur a posteriori consid´er´es sont du types r´esiduels avec poids connues sous le nom ”Dual Weighted Residual method” ou m´ethode DWR introduite dans [1]. Ces poids utilisent la solution duale du probl`eme directe calcul´ee au cours de la minimisation de la fonctionnelle objective.







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