Laboratoire de Modélisation Mathématique et Numérique
dans les Sciences de l'Ingénieur

Proposition de Stage Mastère 2
Titre: Identification de fissures impédantes via la RG-LSM.
Encadreur: Yosra Boukari

  • 20 Janvier 2018
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Contexte et objectifs du stage :
Le problème d'identification et de reconstruction de fissures par des données surdéterminées sur le bord d'un domaine est un problème classique mais toujours d'actualité dans de nombreux secteurs de l'ingénierie, que ce soit dans l'industrie automobile, l'aéronautique (recherche de fissures dans les ailes d'avions), le nucléaire (les réacteurs), la prospection des sols (recherche de nappes) ou le génie civil (contrôle d'ouvrages d'arts). Depuis les années 90, une littérature mathématique foisonnante a été consacrée à l'étude des problèmes de reconstruction de fissures. Nous pouvons nous référer aux travaux de Bryan and Vogelius (2004) dans le cas de l’électrostatique, Bonnet and Constantinescu (2005) dans le cas de l'élasticité ainsi que le travail d’Andrieux and Ben Abda (1996). De manière sommaire, il existe deux grandes familles de procédés de reconstruction. La première famille regroupe les méthodes itératives qui nécessitent la résolution successive du problème direct sous-jacent. Ces méthodes sont très générales dans la mesure où elles peuvent prendre en compte des géométries quelconques et ne sont pas spécifiques au problème d'identification de fissures. Par contre, elles sont généralement coûteuses en termes de mise en œuvre informatique (nécessitent un remaillage à chaque itération, ...) et en temps de calcul surtout pour les problèmes 3D. La deuxième classe de procédés d'inversion regroupe les méthodes qui ne nécessitent pas l'intégration de l'EDP associée au problème inverse, et sont de ce fait peu coûteuses en général. Nous nous intéresserons dans ce travail au développement et au couplage de méthodes appartenant à cette deuxième classe.
Le travail de Mastère aura pour but de développer des méthodes d'imageries 2D, rapides, robustes et qui permettent de traiter des fissures avec des géométries très complexes. Nous Nous placerons dans le cas de l'électrostatique et l’acoustique et l’étude portera notamment sur l'application de la méthode RG-LSM (Reciprocity Gap – Linear Sampling Method) dans le cas d'une fissure avec une condition d'impédance. A noter que la RG-LSM est une méthode d'échantillonnage bien adaptée au cas des milieux hétérogènes, c’est-à-dire des domaines dont l’indice du milieu est constant par morceaux. La RG-LSM nécessite comme mesures des données de Cauchy sur le bord accessible d’un domaine borné contenant la fissure. Le travail de recherche consiste également à faire une validation théorique et numérique de la performance de la méthode de reconstruction développée.







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